Bilderzeugung mit sphärischen Spiegeln

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Publikation:	11.8.2008
Herkunft:	Sonnentaler, Berlin

Mit einem Spiegel kann man nicht nur ein ganz normales (Spiegel-) Bild erzeu­gen. Mit entsprechend geformten Spiegeln erhält man – ähnlich wie mit einer Linse – ein vergrößertes oder verkleinertes Bild. Besonders geeignet sind dafür sphärische Spiegel, also Spiegel deren Oberfläche ein Teilstück einer Kugel darstellt.

Die Regeln für die Reflexion von Lichtstrahlen an einem sphärischen Spiegel wurden bereits im einführenden Text zu Spiegeln genannt:

Parallel zur optischen Achse einfallende Lichstrahlen werden alle auf den Brennpunkt des Spiegels abgelenkt. Umgekehrt gilt, dass alle Strahlen, die durch den Brennpunkt laufen und auf den Spiegel treffen, ihn nach der Re­flexion parallel zur optischen Achse wieder verlassen.

Abb. 1: Reflexion an der Innenfläche eines sphärischen Spiegels

Diese einfachen Regeln reichen aus, um zu verstehen, wie ein vergrößertes oder verkleinertes Bild erzeugt wird.

Erzeugung eines "reellen" Bildes

Betrachten wir folgende Ausgangssituation: Rechts von einem sphärischen Spiegel befindet sich ein Objekt, hier ein roter Pfeil mit einer blauen Spitze. In Abb. 2 sind außerdem die optische Achse und der Brennpunkt des Spie­gels eingezeichnet.

Abb. 2: Sphärischer Spiegel mit Brennpunkt und Objekt

Um herauszubekommen, wie das Bild des Pfeils aussieht, zeichnet man in Abb. 2 die von Spit­ze und Basis kommenden Lichtstrahlen ein, deren Weg man mit den oben genannten Regeln für die Reflexion am sphärischen Spiegel vor­hersagen kann.

Abb. 3: Objekt vor sphärischem Spiegel: Verlauf einiger Lichtstrahlen

Man erkennt, dass sich die von einem Punkt des Objekts ausgehenden Strah­len in einem Punkt vor dem Spiegel treffen. Und nicht nur das: Die von ver­schiedenen Punkten des Objekts ausgehenden Lichtstrahlen treffen sich alle im gleichen Abstand vom Spiegel. An dieser Stelle entsteht ein Bild des Objekts, das man zum Beispiel auf einem Schirm "festhalten" kann. Es handelt sich also um ein reelles Bild, das – wie im Fall der Erzeugung eines reellen Bildes mit einer Sammellinse – auf dem Kopf steht.

Abb. 4: Reelles Bild eines Objekts vor einem sphärischen Spiegel

Im Prinzip müsste man nun noch zeigen, dass sich alle – und nicht nur zwei – von einem Punkt des Pfeils ausgehenden Strahlen im gleichen Punkt treffen. Auf diesen, mit einer etwas umfangreichen Rechnung verbundenen Beweis, wollen wir hier aber verzichten.

In unserem Beispiel haben wir mit dem sphärischen Spiegel ein vergrößertes Bild des Objekts erzeugt. Ein verkleinertes Bild erhält man ganz analog. Wenn Sie sich die Zeichnung noch einmal anschauen, werden Sie feststellen, dass sich nichts ändern würde, wenn der große Pfeil das Objekt wäre und der kleine Pfeil das Bild.

Ob ein vergrößertes oder ein verkleinertes Bild entsteht, hängt also nur vom Abstand Objekt-Spiegel ab. Befindet sich das Objekt zwischen der ein- und zweifachen Brennweite des Spiegels, dann entsteht – in einer Entfernung, die mindestens der doppelten Brennweite entspricht – ein vergrößertes Bild des Objekts. Befindet sich dagegen das Objekt weiter als zweimal die Brennweite vom Spiegel entfernt, entsteht ein verkleinertes Bild – und zwar in einem Ab­stand vom Spiegel, der zwischen der ein- und zweifachen Brennweite liegt.

Erzeugung eines "virtuellen" Bildes

Wie funktionieren aber nun vergrößernde Schmink- oder Rasierspiegel? Da steht doch das Spiegelbild nicht auf dem Kopf! In der Tat kann ein solches Bild nicht so entstehen, wie wir es eben beschrieben haben.

Einen Fall haben wir bisher noch nicht betrachtet: den Fall, dass das Objekt innerhalb der einfachen Brennweite des Spiegels steht.

Abb. 5: Wenn sich das Objekt zwischen sphärischem Spiegel und Brennpunkt befindet

Der Verlauf der Lichtstrahlen, die parallel zur optischen Achse von der Spitze und der Basis des Pfeils auf den Spiegel treffen und dort reflektiert werden, ist wieder einfach einzuzeichnen: Diese Lichtstrahlen werden zum Brennpunkt hin reflektiert:

Abb. 6: Verlauf von parallel auf den Spiegel treffenden Lichtstrahlen

Mit den Strahlen, die von der Spitze und der Basis des Pfeils aus zum Brenn­punkt gehen, ist es in diesem Fall schwieriger: Sie treffen nie auf den Spiegel und können daher nicht zur Konstruktion herangezogen werden.

Allerdings können wir uns mit den Strahlen behelfen, die von Spitze und Basis ausgehend so auf den Spiegel treffen, als ob sie aus dem Brennpunkt kämen. Diese Strahlen verlaufen nach der Reflexion am Spiegel parallel zur optischen Achse (siehe Abb. 7).

Abb. 7: Verlauf der Strahlen, die "scheinbar" vom Brennpunkt aus kommend auf den Spiegel treffen

Was kann man nun mit diesem Ergebnis anfangen? Die Strahlen, die von einem Punkt des Pfeils ausgehen, treffen sich nicht. Im Gegenteil, sie laufen sogar aus­einander. Man erhält auf diese Weise also kein reelles Bild.

Man kann aber die von einem Punkt des Pfeils ausgehenden Strahlen in einem Gedanken­experiment hinter dem Spiegel (nach "links") verlängern.

Abb. 8: "Verlängerung" der Strahlen hinter den Spiegel

Diese "gedachten" Strahlen treffen sich, und zwar alle im gleichen Abstand hinter dem Spiegel. Welche Bedeutung haben diese "virtuellen" Strahlen? Es kann sich hinter dem Spiegel natürlich nicht um ein reelles Bild handeln. Es gibt dort schließlich keine Strahlen; und wenn man hinter den Spiegel einen Schirm hinstellen würde, könnte man auf diesem kein Bild sichtbar machen.

Diese virtuellen Strahlen bekommen erst dann eine Bedeutung, wenn wir unser Auge "ins Spiel" bringen. Blickt man von rechts in den Spiegel, so gelangen Strah­len in unser Auge, die von einem größeren, hinter dem Spiegel stehenden Objekt zu kommen scheinen. Dieses scheinbare Objekt steht übrigens nicht auf dem Kopf, es hat die gleiche Ausrichtung wie das Objekt vor dem Spiegel.

Abb. 9: Virtuelles Bild eines vor einem sphärischen Spiegel platzierten Objekts

Ein solches Bild, das man nur unter Zuhilfenahme des Auges sehen kann (oder mit Hilfe eines optischen Geräts – zum Beispiel eines Fotoapparats), nennt man virtuelles Bild. Das, was Sie sehen, wenn Sie in einen Schmink- oder Rasier­spiegel blicken – oder in einen ganz normalen, flachen Spiegel – ist also ledig­lich ein virtuelles Bild.

Bilderzeugung mit "Zerstreuungspiegeln"

Mit einem "Zerstreuungsspiegel" – einem nach außen gewölbten Spiegel – kann man genauso wenig ein reelles Bild erzeugen wie mit einer Zerstreuungslinse. Dagegen erhält man auch hier wieder ein verkleinertes virtuelles Bild, das man zum Beispiel beobachten kann, wenn man auf eine polierte Stahlkugel schaut.

Wie ein solches Bild zustandekommt, kann man wieder durch eine verhältnis­mäßig einfache Konstruktion mit ein paar charakteristischen Lichstrahlen ver­stehen. Zunächst noch einmal die Regel für die Reflexion am "Streuspiegel":

Parallel zur optischen Achse einfallende Strahlen werden so reflektiert, dass sie alle von einem Punkt hinter dem Spiegel, dem Brennpunkt des Streuspie­gels, zu kommen scheinen. Umgekehrt gilt, dass alle auf den Brennpunkt einfallenden Strahlen so reflektiert werden, dass sie anchließend parallel zur optischen Achse verlaufen.

Abb. 10: Reflexion am "Streuspiegel"

Wir betrachten wieder zwei Strahlen, die von der Spitze und der Basis des Pfeils aus­gehen. Der Strahl, der parallel zur optichen Achse verläuft, wird so reflektiert, dass er in eine vom Brennpunkt des Spiegels kommende Richtung abgelenkt wird. Der andere Strahl, der zunächst in Richtung des Brennpunkts geht, wird in eine zur optischen Achse parallele Richtung reflektiert. Die beiden Strahlen treffen sich nicht, es kann also kein reelles Bild entstehen.

Abb. 11: Bildentstehung am sphärischen Streuspiegel

Wenn man allerdings diese auseinanderlaufenden Strahlen hinter den Spiegel zurückverfolgt, sieht man, dass sie sich dort (virtuell) treffen. Das von dem Spiegel reflektierte Licht erscheint also von einem (nicht existenten) Pfeil hinter dem Spiegel zu kommen, der kleiner ist als der wirkliche Pfeil vor dem Spiegel. Dieser kleine Pfeil ist das virtuelle Bild, das wir im "Zerstreuungsspie­gel" sehen können.

Je näher man das Objekt an den Spiegel heranschiebt, desto größer wird das virtuelle Bild. Umgekehrt wird es umso kleiner, je weiter weg es sich vom Spie­gel befindet.

Letzte Aktualisierung: 29.11.2023